El número áureo (página 2)

Los griegos creían en la existencia de unas
proporciones armoniosas para el cuerpo, que buscaban aplicar en
sus esculturas. Durante el renacimiento,
dichas proporciones quedaron plasmadas en este famoso dibujo de
Leonardo Da Vinci: el "Homo Vitrubio", que ilustra el libro "La
Divina Proporción" de Luca Pacioli, editado en
1509.

Definición

Se dice que dos números positivos a y
b están en razón áurea si y
sólo si:

Para obtener el valor de
a partir de esta
razón considere lo siguiente:

Que la longitud del segmento más corto b sea 1 y
que la de a sea x. Para que estos segmentos cumplan con la
razón áurea deben cumplir que:

Multiplicando ambos lados por x y
reordenando:

Mediante la fórmula general de las ecuaciones de
segundo grado se obtiene que las dos soluciones de
la ecuación son

La solución positiva es el valor del
número áureo, y esto es una prueba formal de que el
número áureo es irracional, ya que incluye la
raíz de un número primo.

HISTORIA DEL NÚMERO
ÁUREO

Existen numerosos textos que sugieren que el
número áureo se encuentra como proporción en
ciertas estelas Babilonias y Asirias de alrededor de
2000 a. C. Sin embargo no existe documentación histórica que indique
que el número áureo fue usado conscientemente por
los arquitectos o artistas en la construcción de las estelas. También
es importante notar que cuando se mide una estructura
complicada es fácil obtener resultados curiosos si se
tienen muchas medidas disponibles. Además para que se
pueda considerar que el número áureo está
presente, las medidas deben tomarse desde puntos relativamente
obvios del objeto y este no es el caso de los elaborados teoremas
que defienden la presencia del número áureo. Por
todas estas razones Mario Livio concluye que es muy improbable
que los babilonios hayan descubierto el número
áureo.

La razón
áurea  

El valor numérico de esta razón, que se
simboliza normalmente con la letra griega "fi" (f ),
es:

La fama que tiene de estético le viene dada por
el rectángulo áureo cuya altura y anchura
están en la proporción 1 a f .

Rectángulo
áureo

Es decir, si siendo su altura a y su anchura b se cumple
que

Esto es lo primero que te sugerimos comprobar: que la
mayoría de los rectángulos que nos encontramos en
nuestra vida cotidiana son áureos. Para ello mide tu
D.N.I., un libro, el
carnet del instituto o cualquier otro rectángulo que
lleves contigo y divide la medida más larga entre la
más corta y comprueba si da un número aproximado a
f.

Las fachadas de muchos edificios como, por
ejemplo, la del Partenón también guardan una
proporción aproximada a la razón
áurea.

La razón áurea también
podemos encontrarla en otras figuras geométricas, por
ejemplo el pentágono regular, en el que la razón
entre la diagonal y el lado cumple la divina
proporción

Pero lo que quizás nos pueda resultar más
curioso es la presencia de la razón áurea en la
naturaleza.
Hay enigmáticas conexiones de la espiral de los nautilus
(un tipo de caracola) y las espirales de los girasoles con la
razón áurea.

 También los cuerpos humanos
exhiben proporciones cercanas a la razón áurea,
como puede verse comparando la altura total de una persona con la
que hay hasta su ombligo.

El número
áureo

En el arte

Durante los últimos siglos, creció el
mito de que
los antiguos griegos estaban sujetos a una proporción
numérica específica, esencial para sus ideales de
belleza y geometría.
Dicha proporción es conocida con los nombres de. Aunque
recientes investigaciones
revelan que no hay ninguna prueba que conecte esta
proporción con la estética griega, esta sigue manteniendo un
cierto atractivo como modelo de
belleza.

Matemáticamente nace de plantear la
siguiente proporcionalidad entre dos segmentos y que dice
así: "Buscar dos segmentos tales que el cociente entre el
segmento mayor y el menor sea igual al cociente que resulta entre
la suma de los dos segmentos y el mayor"

Sean los segmentos:

A: el mayor y B el menor, entonces planteando la
ecuación es:

A/B =(A+B)/A

Cuando se resuelve se llega a una ecuación de
2do. grado que para obtener la solución hay que aplicar la
resolvente cuadrática.

El valor numérico de esta razón, que se
simboliza normalmente con la letra griega "fi" es:

  Los griegos de la
antigüedad clásica creían que la
proporción conducía a la salud y a la belleza. En su
libro Los Elementos (300 a. C.), Euclides demostró la
proporción que Platón
había denominado «la sección», y que
más tarde se conocería como «sección
áurea». Ésta constituía la base en la
que se fundaba el arte y la arquitectura
griegos; el diseño
del Partenón de Atenas está basado en esta
proporción. En la Edad Media, la
sección áurea era considerada de origen divino: se
creía que encarnaba la perfección de la
creación divina. Los artistas del Renacimiento la
empleaban como encarnación de la lógica
divina. Jan Vermeer (1632-1675) la usó en Holanda; pero,
años después, el interés
por ella decreció hasta que, en 1920, Piet Mondrian
(1872-1944) estructuró sus pinturas abstractas
según las reglas de la sección
áurea.

También conocido como la Divina
Proporción, la Media Áurea o la Proporción
Áurea, este ratio se encuentra con sorprendente frecuencia
en las estructuras
naturales así como en el arte y la arquitectura hechos por
el hombre, en
los que se considera agradable la proporción entre
longitud y anchura de aproximadamente 1,618. Sus extrañas
propiedades son la causa de que la Sección Áurea
haya sido considerada históricamente como divina en sus
composiciones e infinita en sus significados. Los antiguos
griegos, por ejemplo, creyeron que el entendimiento de la
proporción podría ayudar a acercarse a Dios: Dios
«estaba» en el número.

Sin duda alguna. es cierto que la armonía se
puede expresar mediante cifras, tanto en espacios
pictóricos o arquitectónicos, como en el reino de
la música
o, cómo no, en la naturaleza. La armonía de la
Sección Áurea o Divina Proporción se revela
de forma natural en muchos lugares. En el cuerpo humano,
los ventrículos del corazón
recuperan su posición de partida en el punto del ciclo
rítmico cardiaco equivalente a la Sección
Áurea. El rostro humano incorpora este ratio a sus
proporciones. Si se divide el grado de inclinación de una
espiral de ADN o de la
concha de un molusco por sus respectivos diámetros, se
obtiene la Sección Áurea. Y si se mira la
forma en que crecen las hojas de la rama de una planta, se puede
ver que cada una crece en un ángulo diferente respecto a
la de debajo. El ángulo más común entre
hojas sucesivas está directamente relacionado con la
Sección Áurea.

En arte y la arquitectura también se han
usado con extraordinarios resultados las famosas propiedades
armoniosas de a Sección Áurea. 1 las dimensiones de
la Cámara Real de la Gan Pirámide se basan
en la Sección Áurea; el arquitecto Le Corhusier
diseño su sistema Modulor
basándose en la utilización de la
proporción áurea, el pintor Mondrian
basó la mayoría de sus obras en la
Sección Áurea: Leonardo la incluyó en
muchas de sus pinturas y Claude Dehussy se sirvió
de sus propiedades en la música. La Sección
Áurea también surge en algunos lugares
inverosímiles: los televisores de pantalla ancha, las
postales, las
tarjetas de
crédito
y las fotografías se ajustan por lo común a sus
proporciones. Y se han llevado a cabo muchos experimentos para
probar que las proporciones de los rostros de las top models se
adecuan más estrechamente a la Sección Áurea
que las del resto de la población. lo cual supuestamente explica
por qué las encontramos bellas.

Propiedades
algebraicas

• F es el único número real positivo tal
  que:

• 

  La expresión anterior es fácil de
  comprobar:

  

  

  • F posee además las siguientes
    propiedades:

  • 

    

    • Las potencias del número áureo
      pueden ser escritas en función de una suma de
      potencias de grados inferiores del mismo
      número, estableciendo una verdadera
      sucesión recurrente de potencias.

    El caso más simple es: Fn = Fn – 1 + Fn –
    2, cualquiera sea n entero positivo. Este caso es una
    sucesión recurrente de orden k = 2, pues se
    recurre a dos potencias anteriores.

    Una ecuación recurrente de orden k tiene
    la forma a1un + k – 1 + a2un + k – 2 + … + akun, donde
    ai es cualquier número real o complejo y k es un
    número natural menor o igual a n y mayor o igual a
    1. En el caso anterior es k = 2, a1 = 1 y a2 = 1.Pero
    podemos «saltear» la potencia inmediatamente anterior y
    escribir:

    Fn = Fn – 2 + 2Fn – 3 + Fn – 4. Aquí k =
    4, a1 = 0, a2 = 1, a3 = 2 y a4 = 1.

    Si anulamos a las dos potencias inmediatamente
    anteriores, también hay una fórmula
    recurrente de orden 6:

    Fn = Fn – 3 + 3Fn – 4 + 3Fn – 5 + Fn –
    6

    En general:

    

    ; k un número par,

    En resumen: cualquier potencia del número
    áureo puede ser considerada como el elemento de
    una sucesión recurrente de órdenes 2, 4, 6,
    8, …, 2n; donde n es un número natural. En la
    fórmula recurrente es posible que aparezcan
    potencias negativas de F, hecho totalmente correcto.
    Además, una potencia negativa de F corresponde a
    una potencia positiva de su inverso, la sección
    áurea.

    Este curioso conjunto de propiedades y el hecho
    de que los coeficientes significativos sean los del
    binomio, parecieran indicar que entre el número
    áureo y el número e hay un
    parentesco.

    • El número áureo es la unidad
      fundamental «e» del cuerpo y la
      sección áurea es su inversa, «». En esta
      extensión el «emblemático»
      número irracional cumple las siguientes
      igualdades:

    

    Representación mediante fracciones
    continuas

    La expresión mediante fracciones
    continuas es:

    

    Esta iteración es la única donde
    sumar es multiplicar y restar es dividir. Es
    también la más simple de todas las
    fracciones continuas y la que tiene la convergencia
    más lenta. Esa propiedad hace que además el
    número áureo sea un número mal
    aproximable mediante racionales que de hecho alcanza el
    peor grado de aproximabilidad mediante racionales
    posible.

    Representación mediante ecuaciones
    algebraicas

    

    El número áureo y la sección
    áurea son soluciones de las siguientes
    ecuaciones:

    

    

    

    Representación
    trigonométrica

    

    

    

    

    Estas corresponden al hecho de que el lado de un
    pentágono regular es f veces la longitud de su
    radio
    y de otras relaciones similares en el
    pentágrama.

    En 1994 se derivaron las siguientes ecuaciones
    relacionando al número áureo con el
    número de la Bestia:

    

    Lo que puede combinarse en la
    expresión:

    

    Sin embargo, hay que notar que estas ecuaciones
    dependen de que se elijan los grados sexagesimales como
    unidad angular, ya que las ecuaciones no se mantienen
    para unidades diferentes.

    Representación mediante raíces
    anidadas

    

    Esta fórmula como caso particular de una
    identidad general publicada por Nathan
    Altshiller-Court, de la Universidad de Oklahoma, en la revista American Mathematical Monthly,
    1917.

    El teorema general dice:

    

    La expresión (donde ai =
    a), es igual a la mayor de las raíces de la
    ecuación x² – x – a = 0; o
    sea,

    

    Relación con la serie de
    Fibonacci

    Si se denota el enésimo número de
    Fibonacci como Fn, y al siguiente número de
    Fibonacci, como Fn + 1, descubrimos que a medida que n
    aumenta, esta razón oscila siendo alternativamente
    menor y mayor que la razón áurea. Podemos
    también notar que la fracción continua que
    describe al número áureo produce

    siempre números de Fibonacci a medida que
    aumenta el número de unos en la fracción.
    Por ejemplo: =1.5, =1.6, y =1.615384…, lo que se acerca
    considerablemente al número áureo. Entonces
    se tiene que:

    

    Esta propiedad fue descubierta por el
    astrónomo italiano Johannes Kepler, sin embargo,
    pasaron más de cien años antes de que fuera
    demostrada por el matemático inglés Robert Simson.

    A mediados del siglo XIX el matemático
    francés Jacques Phlipe Marie Binet
    redescubrió una fórmula que aparentemente
    ya era conocida por Leonhard Euler, y por otro
    matemático francés, Abraham de Moivre. La
    fórmula permite encontrar el enésimo
    número de Fibonacci sin la necesidad de producir
    todos los números anteriores. La fórmula de
    Binet depende exclusivamente del número
    áureo:

    

    El
    número áureo en la
    geometría

    El número áureo y la
    sección áurea están presentes en
    todos los objetos geométricos regulares o
    semiregulares en los que haya simetría pentagonal,
    pentágonos o aparezca de alguna manera la
    raíz cuadrada de cinco.

    • Relaciones entre las partes del
      pentágono.

    • Relaciones entre las partes del
      pentágono estrellado, pentáculo o
      pentagrama.

    • Relaciones entre las partes del
      decágono.

    • Relaciones entre las partes del dodecaedro y
      del icosaedro.

    EL RECTÁNGULO ÁUREO DE
    EUCLIDES

    

    Euclides obtiene el rectángulo
    áureo AEFD a partir del cuadrado ABCD. El
    rectángulo BEFC es asimismo
    áureo.

    El rectángulo AEFD es áureo porque
    sus lados AE y AD están en la proporción
    del número áureo. Euclides en su
    proposición 2.11 de Los elementos obtiene su
    construcción.>

    

    Con centro en G se obtiene el punto E, y por lo
    tanto

    

    resultando evidente que

    

    de donde, finalmente

    

    Por otra parte, los rectángulos AEFD y
    BEFC son semejantes, de modo que éste
    último es asimismo un rectángulo
    áureo.

    El pentagrama
    y el número áureo

    El lema de la Escuela Pitagórica fue todo es
    número y su emblema el pentagrama o
    pentágono regular estrellado. En el
    pentágono estrellado figura el número
    áureo infinidad de veces.

    Veamos qué relación existe entre
    el pentágono regular y el pentágono regular
    estrellado.

    Si consideramos el lado del pentágono la
    unidad, basta aplicar el teorema del coseno al
    triángulo ABC y resulta que AC es igual al
    número áureo.

    El teorema del coseno afirma que en todo
    triágulo un lado al cuadrado es igual a la suma de
    los cuadrados de los otros dos lados menos el doble
    producto de ellos por el coseno del
    águlo comprendido.

    

    En nuestro caso, aplicando dicho teorema al
    triángulo ABC, tendremos:

    AC 2 = AB 2 + BC 2 – 2 AB. AC. cos
    (108)

    y como AB = BC = 1, efectuando operaciones resulta:

    AC 2 = 2 – 2 cos (108)

    Extrayendo la raiz cuadrada:

    AC = 1,6180340…

    Considerando el lado del pentágono
    regular la unidad, (AG = 1), pueden obtenerse de forma
    inmediata las siguientes expresiones:

    

    ¿ Qué pudo hacer que los
    pitagóricos sintieran tanta admiración por
    el número áureo ?.

    Casi con toda seguridad, para la escuela
    pitagórica la consideración del irracional
    5 1/2, de cuya existencia tuvieron conciencia antes que de 2 1/2, tuvo que
    causar una profunda reflexión en las teorías de la secta.

    Si tienes alguna duda de las relaciones del
    número áureo con el pentágono
    estrellado… ¡mira!, y así hasta el
    infinito. Siempre que encuentres un pentágono
    regular podrás hacer lo mismo.

    

    Dado un segmento AB, se dice que está
    dividido en media y extrema razón, cuando: "[…]
    si hay de la parte pequeña a la parte grande la
    misma relación que de la grande al todo"
    (Vitrubio). A partir del Renacimiento recibió el
    nombre de Divina Proporción.

    La Proporción Áurea fascinó
    como ideal de belleza a los griegos, a los renacentistas
    y perdura en nuestros días. Los pintores y
    escultores del Renacimiento la tuvieron muy en cuenta…
    y también los impresores. En el gráfico de
    la izquierda se puede apreciar el diseño de la
    caja y los márgenes de un libro según la
    normas
    de la Divina Proporción. En el de la derecha
    aparece la reproducción de un incunable
    impreso en Venecia (1495), según dichas normas. Se
    trata del libro de Pietro Bembo De Aetna (Sobre el Etna).
    Exquisita tipografía romana, calidad de papel y tinta, proporciones
    divinas. Una joya.

    Pentagrama que ilustra algunas de las razones
    áureas: los segmentos rojo y azul, azul y verde,
    verde y morado.

    El número áureo tiene un papel muy
    importante en los pentágonos regulares y en los
    pentagramas. Cada intersección de partes de un
    segmento, intersecta a otro segmento en una razón
    áurea.

    El pentagrama incluye diez triángulos isóceles: cinco
    acutángulos y cinco obtusángulos. En ambos,
    la razón de lado mayor y el menor es f. Estos
    triángulos se conocen como los triángulos
    áureos.

    Teniendo en cuenta la gran simetría de
    este símbolo se observa que dentro del
    pentágono interior es posible dibujar una nueva
    estrella, con una recursividad hasta el infinito. Del
    mismo modo, es posible dibujar un pentágono por el
    exterior, que sería a su vez el pentágono
    interior de una estrella más grande. Al medir la
    longitud total de una de las cinco líneas del
    pentáculo interior, resulta igual a la longitud de
    cualquiera de los brazos de la estrella mayor, o sea F.
    Por lo tanto el número de veces en que aparece el
    número áureo en el pentagrama es infinito
    al anidar infinitos pentagramas.

    El Teorema de Ptolomeo y el
    Pentágono

    

    Se puede calcular el número áureo usando
    el teorema de Ptolomeo en un pentágono
    regular.

    Claudio Ptolomeo desarrolló un teorema conocido
    como el teorema de Ptolomeo, el cual permite trazar un
    pentágono regular mediante regla y compás.
    Aplicando este teorema al cuadrilátero formado al
    remover uno de los vértices del pentágono,
    Si las diagonales y la base mayor miden a, y los lados y
    la base menor miden b, resulta que
    b2 = a2 + ab lo que implica:

    

    Relación con los sólidos
    platónicos

    El número áureo esta relacionado
    con los sólidos platónicos, en particular
    con el icosaedro y el dodecaedro, cuyas dimensiones
    están dadas en términos del número
    áureo. Los vértices de un icosaedro puden
    darse en coordenadas cartesianas por los siguientes
    puntos: (0,f, 1), (0,f, -1), (0, – f, 1), (0, – f, -1),
    (1, 0,f), (1, 0, – f), (-1, 0,f), (-1, 0, – f), (f, 1,
    0), (f, -1, 0), ( – f, 1, 0), ( – f, -1, 0)

    Los vértices de un dodecaedro
    también se puden dar en términos similares:
    (0, f,f), (0,f, – f), (0, – f,f), (0, – f, – f), (f,
    0,f), (f, 0, – f), ( – f, 0,f), ( – f, 0, – f), (f,f, 0),
    (f, -Phi, 0), (-phi,f, 0), (-phi, -Phi, 0), (1, 1, 1),
    (1, 1, -1), (1, -1, 1), (1, -1, -1), (-1, 1, 1), (-1, 1,
    -1), (-1, -1, 1), (-1, -1, -1)

    

    Las 12 esquinas de los rectángulos
    coinciden con los centros de las caras de un
    dodeacaedro.

    Para un dodecaedtro con aristas de longitid a,
    su volumen y su área total se puden
    expresar también en términos del
    número áureo:

    

    

    Si tres rectángulos áureos se
    solapan paralelamente en sus centros, las 12 esquinas de
    los rectángulos áureos coinciden
    exactamente con los vértices de un icosaedro, y
    con los centros de las caras de un dodecaedro:

    El punto que los rectángulos tienen en
    común es el centro tanto del dodeaedro como del
    icosaedro.

    Rectángulo Áureo

    Un rectángulo especial es el llamado
    rectángulo áureo. Se trata de un
    rectángulo armonioso en sus
    dimensiones.

    Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio
    de uno de sus lados. Lo unimos con uno de los
    vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia
    sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado
    mayor del rectángulo.

    

    Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es
    claro que el lado mayor del rectángulo vale por lo
    que la proporción entre los dos lados
    es:

    

    A este número se le llama número
    de oro,
    se representa por el símbolo – y su valor es
    1,61803…, lo obtuvieron los griegos al hallar la
    relación entre la diagonal de un pentágono
    y el lado. El nombre de "número de oro" se debe a
    Leonardo da Vinci.

    En "el hombre
    ideal" de Leonardo, el cociente entre el lado del
    cuadrado y el radio de la circunferencia que tiene por
    centro el ombligo, es el número de oro.

    

    Otra propiedad de este rectángulo es que
    si se colocan dos iguales como en la figura de la
    derecha, se forma otro rectángulo áureo
    más grande.

    

    Los egipcios ya conocían esta
    proporción y la usaron en la arquitectura de la
    pirámide de Keops (2600 años
    a.C.).

    Aparece en pinturas de Dalí, en la Venus
    de Boticelli. Esta razón también la usaron
    en sus producciones artistas del Renacimiento. En
    España, en la Alhambra, en
    edificios renacentistas como El Escorial… y en la
    propia Naturaleza en las espirales de las conchas de
    ciertos moluscos.

    

    Los griegos también la usaron en sus
    construcciones, especialmente El Partenón, cuyas
    proporciones están relacionadas entre sí
    por medio de la razón áurea.

    

    El símbolo – para la relación
    áurea fue elegido por el matemático
    americano Mark Barr. La letra fue elegida porque era la
    primera del nombre de Phidias que solía usar la
    relación áurea en sus
    esculturas.

    También se ha usado en el diseño
    del DNI, en la construcción de muebles, marcos
    para ventanas, camas, etc.

    

    EL NÚMERO ÁUREO EN LA
    NATURALEZA

    La neutralidad de esta
    sección está en duda. Por favor,
    véase la página de discusión de este
    artículo

    

    Concha de nautilus en espiral
    logarítmica

    En la naturaleza, hay muchos elementos
    relacionados con la sección
    áurea:

    • No hay simetría pentagonal ni
      pentágonos en la materia inanimada. El
      pentágono surge únicamente en los seres
      vivos, ningún cristal, por ejemplo, tiene
      forma pentagonal.

    • Leonardo de Pisa (Fibonacci), en su Libro de
      los ábacos (Liber abacci, 1202, 1228), usa la
      sucesión que lleva su nombre para calcular el
      número de pares de conejos n meses
      después de que una primera pareja comienza a
      reproducirse (suponiendo que los conejos están
      aislados por muros, se empiezan a reproducir cuando
      tienen dos meses de edad, tardan un mes desde la
      fecundación hasta la parición y cada
      camada es de dos conejos). Este es un problema
      matemático puramente independiente de que sean
      conejos los involucrados. En realidad, el conejo
      común europeo tiene camadas de 4 a 12
      individuos y varias veces al año, aunque no
      cada mes, pese a que la preñez dura 32
      días. El problema se halla en las
      páginas 123 y 124 del manuscrito de 1228, que
      fue el que llegó hasta nosotros, y parece que
      el planteo recurrió a conejos como pudiera
      haber sido a otros seres; es un soporte para hacer
      comprensible una incógnita, un acertijo
      matemático. El cociente de dos términos
      sucesivos de la Sucesión de Fibonacci tiende a
      la sección áurea o al número
      áureo si la fracción resultante es
      propia o impropia, respectivamente. Lo mismo sucede
      con toda sucesión recurrente de orden dos,
      según demostraron Barr y Schooling en la
      revista The Field del 14 de diciembre de
      1912.

    • La relación entre la cantidad de
      abejas macho y abejas hembra en un panal.

    • La disposición de los pétalos
      de las flores (el papel del número
      áureo en la botánica recibe el nombre
      de Ley de Ludwig).

    • La distribución de las hojas en un
      tallo. Ver: Sucesión de Fibonacci.

    • La relación entre las nervaduras de
      las hojas de los árboles

    • La relación entre el grosor de las
      ramas principales y el tronco, o entre las ramas
      principales y las secundarias (el grosor de una
      equivale a F tomando como unidad la rama
      superior).

    • La distancia entre las espirales de una
      piña.

    • La relación entre la distancia entre
      las espiras del interior espiralado de cualquier
      caracol
      (no sólo del nautilus) Hay por lo menos tres
      espirales logarítmicas en las que se puede
      encontrar de alguna manera al número
      áureo. La primera de ellas se caracteriza por
      la relación constante igual al número
      áureo entre los radiovectores de puntos
      situados en dos evolutas consecutivas en una misma
      dirección y sentido. Las conchas del Fusus
      antiquus, del Murex, de Scalaria pretiosa, de
      Facelaria y de Solarium trochleare, entre otras,
      siguen este tipo de espiral de crecimiento.4
      5 Se debe entender que en toda
      consideración natural, aunque involucre a las
      ciencias consideradas más
      matemáticamente desarrolladas, como la
      Física, ninguna relación o constante
      que tenga un número infinito de decimales
      puede llegar hasta el límite
      matemático, porque en esa escala no
      existiría ningún objeto físico.
      La partícula elemental más diminuta que
      se pueda imaginar es infinitamente más grande
      que un punto en una recta. Las leyes observadas y
      descriptas matemáticamente en los organismos
      las cumplen transgrediéndolas
      orgánicamente.

    El
    número áureo en la
    religión

    Un estudio realizado por la SARU (Science and
    religion united = ciencia y religión unidas) en noviembre del
    año 2005, analizó meticulosamente el
    "Evangelio Prohibido de Judas"
    descubierto a principios del año 2000(aquel que
    afirma que en realidad Jesús le pidio a Judas que
    lo traicione). Entre otros hallazgos, fue notorio el
    hecho de que se detallaran las medidas de la cruz en la
    cual Jesucristo fue crucificado, y más
    sorprendentemente, una de sus características: el
    trozo de madera
    más largo de esta medía 3,23 m
    aproximadamente; mientras que el trozo más corto
    tenía una longitud aproximada de 2m. Lo curioso
    fue que notaron que al dividir la longitud del trozo
    mayor por la del menor se obtiene (usted mismo puede
    comprobarlo) 1,615, que es el valor aproximado de
    F.

    Otro estudio de la SARU, en este caso sobre el
    Santo Sudario (la tela en que se cree que Jesús
    fue envuelto en su sepulcro), en el que se presentan
    marcas
    y traumas físicos propios de la
    crucifixión; demuestra que las marcas alrededor
    del cráneo que, según se cree, fueron
    causadas por la corona de espinas, se presentan en forma
    de espiral logarítmico, y consecuentemente sus
    espinas siguen la sucesión de Fibonacci. Por lo
    que se cree, el sudario fue falsificado por Da
    Vinci.

    El
    número áureo en el ser
    humano

    • La Anatomía de los humanos se basa en
      una relación F estadística y
      aproximada, así vemos que:

    • La relación entre la altura de un ser
      humano y la altura de su ombligo.

    • La relación entre la distancia del
      hombro a los dedos y la distancia del codo a los
      dedos.

    • La relación entre la altura de la
      cadera y la altura de la rodilla.

    • La relación entre el primer hueso de
      los dedos (metacarpiano) y la primera falange, o
      entre la primera y la segunda, o entre la segunda y
      la tercera, si dividimos todo es phi.

    • La relación entre el diámetro
      de la boca y el de la nariz

    • Es phi la relación entre el
      diámetro externo de los ojos y la línea
      inter-pupilar

    • Cuando la tráquea se divide en sus
      bronquios, si se mide el diámetro de los
      bronquios por el de la tráquea se obtiene phi,
      o el de la aorta con sus dos ramas terminales
      (ilíacas primitivas).

    El
    número áureo en la
    música

    Es necesario aclarar que cuando se menciona al
    número áureo en una realización
    artística de cualquier naturaleza no se
    está haciendo mención al número
    áureo de los matemáticos, un irracional con
    infinitos decimales, sino a una aproximación
    racional adecuada a las circunstancias o a un dibujo
    hecho con regla no graduada de un solo borde y longitud
    indefinida y un compás de abertura fija o
    variable. Generalmente se utilizan cocientes de
    números pertenecientes a la sucesión de
    Fibonacci que dan valores aproximados, alternativamente por
    defecto o por exceso, según la necesidad o la
    sensibilidad humana y hasta la capacidad de
    separación tonal de cada instrumento. Un
    violín, por ejemplo, puede separar hasta un tercio
    de tono. El oído humano sano y entrenado
    distingue hasta trescientos sonidos por octava. Como un
    ejemplo conocido y no discutido tenemos a la escala
    atemperada o templada. Esta es una escala
    logarítmica. Se creó muy poco tiempo
    después de que los logaritmos pasaran al patrimonio de la matemática. La octava atemperada
    está basada en Este número irracional tiene infinitos
    decimales, pero la afinación se hace redondeando
    las cifras de las frecuencias a uno o dos decimales. De
    cualquier manera, el error tonal total cometido no es
    superior al doceavo de tono y el oído humano no lo
    nota. La uniformidad de la separación de las notas
    y la coincidencia de bemoles y sostenidos permite
    comenzar una melodía por cualquier nota sin que se
    produzcan las desagradables disonancias de la escala
    diatónica y la escala física. De la misma manera se
    actúa con la distribución de tiempos o la altura
    de los tonos usando el número áureo; con
    una aproximación racional que resulte
    práctica. Existen numerosos estudios al respecto,
    principalmente de la Universidad de Cambridge.

    • Autores como Bártok, Messiaen y
      Stockhausen, entre otros, compusieron obras cuyas
      unidades formales se relacionan (a propósito)
      con la sección áurea.

    • El compositor mexicano Silvestre Revueltas
      (1899-1945) utilizó también el
      número áureo en su obra
      Alcancías, para organizar las partes (unidades
      formales).

    • El grupo de rock progresivo norteamericano
      Tool, en su disco Lateralus (2001) hacen
      múltiples referencias al número
      áureo y a la sucesión de Fibonacci,
      sobre todo en la canción que da nombre al
      disco, pues los versos de la misma están
      cantados de forma que el número de
      sílabas pronunciadas en cada uno van
      componiendo dicha secuencia. Además la voz
      entra en el minuto 1:37, que pasado al sistema
      decimal coincide muy aproximadamente con el
      número áureo.

    Zeysing notó la presencia de los
    números 3, 5, 8 y 13, de la Sucesión de
    Fibonacci, en el cálculo de los intervalos aferentes
    a los dos tipos de acordes perfectos. Los dos tonos del
    acorde mayor final, mi y do por ejemplo (la sexta menor o
    tercia mayor invertida en do mayor), están entre
    sí en la razón cinco octavos. Los dos tonos
    del acorde menor final, por ejemplo, mi bemol y do (sexta
    mayor o tercia transpuesta en do menor) dan la
    razón tres quintos

    Vocabulario

    • Número algebraico

    Un número algebraico es cualquier
    número real o complejo que es solución de
    una ecuación polinómica

    • Segmentos

    Un segmento, en geometría, es un fragmento de recta
    que está comprendido entre dos puntos

    • Mito

    Un mito (del griego µ????,
    mythos, 'cuento') es un relato de hechos
    maravillosos protagonizado por personajes sobrenaturales
    (dioses, semidioses, monstruos) o extraordinarios
    (héroes).

    • Proporcionalidad

    La proporcionalidad es una
    relación entre magnitudes medibles. Es uno de los
    escasos conceptos matemáticos ampliamente
    difundido en la población. Esto se debe a que es
    en buena medida intuitiva y de uso muy común. La
    proporcionalidad directa es un caso particular de las
    variaciones lineales. El factor constante de
    proporcionalidad puede utilizarse para expresar la
    relación entre cantidades

    • Partenón

    El Partenón es uno de los principales
    templos dóricos que se conservan. Sus dimensiones
    son: 69,5 metros de largo, 31 de anchura y 10,93 de
    altura

    Conclusiones

    El descubrimiento de este número se
    atribuye a la escuela Pitagórica, de hecho los
    pitagóricos utilizaban como símbolo la
    estrella de cinco puntas, en la que aparecen distintas
    razones áureas.

    Es fácil encontrar distintas
    proporciones áureas en diversas figuras. Este
    número aparece repetidamente en el mundo que nos
    rodea, como elemento de diseño en construcciones
    arquitectónicas tan antiguas como la
    pirámide de Keops, o en distintos seres vivos,
    tanto en el reino vegetal (flores, semillas,…) como en
    el reino animal (estrellas de mar, caracolas que crecen
    en función de relaciones
    áureas,…) Leonardo
    da Vinci en su "Esquema de las proporciones del
    cuerpo humano" señala distintas relaciones
    áureas que existen en el ser humano.

    Cuando la razón entre las
    dimensiones de un rectángulo es el número
    de oro, el rectángulo recibe el nombre de
    áureo. Los rectángulos áureos, son
    proporcionados, y por eso se utilizan frecuentemente en
    el arte.

    Bibliografía

    • El número de oro. Matila C. Ghyka.
      Ed. Poseidón

    • Matemáticas e imaginación. E.
      Kasner/J. Newman. Ed. Salvat

    • Instantáneas matemáticas. Hugo
      Steinhaus. Ed. Salvat

    • Miscelánea matemática. Martin
      Gardner. Ed. Salvat

    • Circo matemático. Martin Gardner.
      Alianza Editorial

    DIRECCIONES DE INTERNET

    • http://platea.pntic.mec.es/~aperez4/

    • 
      http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fib.html

    • 
      http://averroes.cec.junta-andalucia.es/recursos_informaticos/concurso/accesit3

    • http://www.mathsoft.com/

     

     

     

     

     

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